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We provide a direct proof of the following theorem of Kalton, Hollenbeck, and Verbitsky \cite{HKV}: let $H$ be the Hilbert transform and let $a,b$ be real constants. Then for $1<p<\infty$ the norm of the operator $aI+bH$ from $L^p(\mathbb R)$ to $L^p(\mathbb R)$ is equal to $$ \bigg(\max_{x\in \mathbb R}\frac{|ax-b+(bx+a)\tan \frac{\pi}{2p}|^p+|ax-b-(bx+a)\tan \frac{\pi}{2p}|^p}{|x+\tan \frac{\pi}{2p}|^p+|x-\tan \frac{\pi}{2p}|^p} \bigg)^{\frac 1p}. $$ Our proof avoids passing through the analogous result for the conjugate function on the circle, as in \cite{HKV}, and is given directly on the line. We also provide new approximate extremals for $aI+bH$ in the case $p>2$.
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L. De Carli / 2000 / Sharp $L^p$ estimates for the segment multiplier / Collect. Math. 51(3):309~326
T. W. Gamelin / 1978 / Uniform Algebras and Jensen Measures, London Mathematical Society Lecture Note Series, 32 / Cambridge University Press
T. Gokhberg / 1968 / Norm of the Hilbert transformation in the $L^p$ space / Funktsional. Analiz i Ego Prilozhen 2:91~92
L. Grafakos / 1997 / Best bounds for the Hilbert transform on $L^p(R^1)$ / Math. Res. Lett. 4(4):469~471
L. Grafakos / 2014 / Classical Fourier Analysis, third edition, Graduate Texts in Mathematics, 249 / Springer
T. W. Gamelin / 1978 / Uniform Algebras and Jensen Measures, London Mathematical Society Lecture Note Series, 32 / Cambridge University Press
T. Gokhberg / 1968 / Norm of the Hilbert transformation in the
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