The exact solutions for the natural frequencies and mode shapes of non-uniform beams carrying multiple various concentrated elements

Chen, Der-Wei

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자료유형: 학술저널

저자정보: Chen, Der-Wei (Department of Naval Architecture and Marine Engineering, Chung Cheng Institute of Technology, National Defense University)

저널정보: 테크노프레스 Structural engineering and mechanics : An international journal Structural engineering and mechanics : An international journal 제16권 제2호

발행연도: 2003.1

수록면: 153 - 176 (24page)

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From the equation of motion of a "bare" non-uniform beam (without any concentrated elements), an eigenfunction in term of four unknown integration constants can be obtained. When the last eigenfunction is substituted into the three compatible equations, one force-equilibrium equation, one governing equation for each attaching point of the concentrated element, and the boundary equations for the two ends of the beam, a matrix equation of the form [B]{C} = {0} is obtained. The solution of |B| = 0 (where ${\mid}{\cdot}{\mid}$ denotes a determinant) will give the "exact" natural frequencies of the "constrained" beam (carrying any number of point masses or/and concentrated springs) and the substitution of each corresponding values of {C} into the associated eigenfunction for each attaching point will determine the corresponding mode shapes. Since the order of [B] is 4n + 4, where n is the total number of point masses and concentrated springs, the "explicit" mathematical expression for the existing approach becomes lengthily intractable if n > 2. The "numerical assembly method"(NAM) introduced in this paper aims at improving the last drawback of the existing approach. The "exact"solutions in this paper refer to the numerical results obtained from the "continuum" models for the classical analytical approaches rather than from the "discretized" ones for the conventional finite element methods.

#non-uniform beam #natural frequencies #mode shapes #bare beam #constrained beam #eigenfunction

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