본 연구에서는 교사의 수업전문성을 신장시키고 학생들에게 질이 높은 수학수업을 제공하기 위해 실제 수학수업의 질과 수업에서 발현되는 PCK 요소의 관련성을 탐색해 보고자 한다. 이를 위해 다음과 같이 연구 문제를 설정하였다.

연구 문제 1. 교사에 따라 수학수업의 질은 어떤 차이가 있는가?
연구 문제 2. 실제 수학수업의 질과 발현되는 PCK 요소는 어떤 관련성이 있는가?

연구 문제 1을 해결하기 위해 문헌 고찰을 통해 수업 관찰 도구인 FMCO와 학생 설문지를 제작하였다. 예비교사 2명과 현직교사 4명을 연구 대상으로 하여 수업 촬영, 수업에 관한 학생 설문, 교사 면담을 실시하였고 수업과 관련된 여러 자료를 수집하였다. 수업의 질 측정 결과, 교사 면담 내용, 학생 설문 자료 등을 비교하여 수업을 다각도로 분석하였다. 연구 문제 2를 해결하기 위해 중학교 교사, 고등학교 교사, 교수 및 박사과정 대학원생으로 이루어진 3개의 전문가 패널을 구성하고 델파이 조사를 통해 수학교사가 갖추어야 할 PCK 요소를 추출하였다. FMCO의 하위 차원에 따라 질이 높은 단위수업과 질이 낮은 단위수업을 분석 대상으로 선정한 다음 수학수업의 질에 따라 PCK 요소가 발현되는 정도를 분석하였다. 그리고 수학수업의 질이 가장 높게 나타난 교사와 가장 낮게 나타난 교사의 수업을 대상으로 PCK 요소가 발현되는 정도를 비교?분석하였다. 이러한 분석을 바탕으로 수학수업의 질에 따라 수업에서 발현되는 PCK 요소의 관련성을 도출하였다.

본 연구의 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.
첫째, 수학수업의 질을 구성하는 4개의 하위 차원 중에서 수학의 풍부함 차원과 학생 참여 차원에서 수학수업의 질과 교육경력의 관련성이 낮았다. 이는 교사가 교수 경험이 많아진다고 해서 자연적으로 학생들에게 풍부한 수학 내용을 제공할 수 있는 것도 아니고, 의미형성과 추론에 참여하는 기회를 적절하게 제공할 수 있는 것도 아님을 보여준다. 그러므로 예비교사나 초임교사뿐만 아니라 경력교사들에게도 수업 관찰을 바탕으로 수학수업의 질에 대한 구체적인 피드백을 제공하여 수업전문성을 신장시키고 수학수업의 질을 개선할 수 있는 기회를 제공하여야 한다.
둘째, 학생과 상호작용 차원 및 오류와 부정확성 차원에서는 교육경력이 많은 교사일수록 대체로 수학수업의 질이 높았다. 교사들의 경력이 쌓일수록 여러 학생들의 학습 과정을 직접 관찰함으로써 학생들의 오류나 어려움에 대해 인식하는 기회가 많아지고 이에 대해 더 적절하게 처방할 수 있게 된다. 또한 경력교사는 예비교사보다 학교수학과 관련된 언어나 기호를 더 정확하게 사용하고, 수학 내용을 보다 명확하게 설명한다. 그러므로 예비교사들과 초임교사들은 자신의 수업전문성을 신장시키기 위해 학생시절 자신의 경험에만 의존하지 않고 실제 수업 현장의 학습을 주의 깊게 관찰하고 이를 통해 학생의 오류나 어려움을 인식할 수 있도록 해야 한다. 또한 예비교사들과 초임교사들에게 학교수학 내용을 보다 명확하게 표현할 수 있는 능력을 기를 수 있는 기회를 제공해야 한다.
셋째, 교사의 수업에 대한 학생 설문 결과는 수학수업의 질과 관련된 여러 측면 중에서 학생과 상호작용하는 부분이 많이 반영되어 나타났다. 학생들의 의견도 수업을 평가할 수 있는 중요한 도구이므로 수업의 질을 평가하고자 할 때에는 학생 설문을 수업 관찰과 함께 사용하여야 한다. 또한 교사들은 학생들의 의견을 수업에 대한 반성의 기회로 삼을 필요가 있다.
넷째, 수학적 개념?정의?정리에 대한 지식은 수학수업의 질에 관계없이 모든 수업에서 많이 발현되었지만 수학적으로 정확한 설명에 대한 지식은 수업의 질에 따라 발현되는 정도에 차이를 보였다. 그러므로 교사들은 수학적 개념?정의?정리를 설명할 때, 학교수학 내용을 기반으로 학생의 상황을 고려하여 수학적으로 정확하게 설명함으로써 수학수업의 질을 높일 수 있다.
다섯째, 특정 내용에 따른 활동과제를 제시할 수 있는 지식은 수학수업의 질에 관계없이 모든 수업에서 많이 발현되었지만 학생의 인지수준을 고려하여 과제를 제시하는 것에 관한 지식은 질이 높은 단위수업에서 상대적으로 더 많이 발현되었다. 그러므로 교사들은 특정 내용에 따른 활동과제를 제시할 때, 학생들의 인지수준을 고려할 수 있어야 한다.
여섯째, 수학의 개념 또는 기능이 어떻게 서로 연결되어 있는지에 대한 지식은 수학수업의 질에 관계없이 모든 수업에서 적게 발현되었다. 수학의 기본적인 개념이나 원리 사이의 관계를 이해하는 능력을 기르는 것은 우리나라 수학교육의 목표 중 하나이고, NCTM에서도 학생들이 수학적 아이디어나 절차의 연결성을 이해하는 것을 강조한다. 교사들은 수학의 개념이나 기능이 어떻게 서로 연결되어 있는지 알고 이 지식을 수업에서 잘 발현함으로써 학생들에게 보다 풍부한 수학 내용을 제공할 필요가 있다.
일곱째, 여러 가지 문제해결 전략에 대한 지식도 수학수업의 질에 관계없이 모든 수업에서 적게 발현되었다. 학생들은 문제해결 과정에서 효율적인 전략을 선택할 수 있어야 할 뿐만 아니라 문제 상황과 관련된 다양한 전략도 구사할 수 있어야 한다. 이에 교사들은 수업에서 학생들이 다양한 방법으로 문제를 해결해 볼 수 있는 환경을 조성하여야 한다.
여덟째, 수학적으로 정확한 설명과 추론에 대한 지식, 효과적인 발문과 의사소통을 통한 학생과의 상호작용에 관한 지식, 학습자의 학습 특성에 적합한 교수법에 관한 지식은 질이 높은 단위수업에서 상대적으로 더 많이 발현되었다. 교사들은 이러한 지식을 갖출 뿐만 아니라 수업에서 잘 발현시킬 수 있어야 한다. 교사들은 학습자를 고려하여 적절한 교수법을 적용하고, 학교수학 상황에 맞게 정확하게 설명하고 추론하며, 수업 중 학생들과 의도적으로 활발하게 상호작용하도록 노력하여야 한다.

This study is to focus upon the relationship between actual mathematics classes and PCK elements revealed in classes in order to enhance educators'' teaching expertise and offer higher quality mathematics classes to students. The following are the research questions set forth for this study.

1. Does the quality of mathematics classes differ based upon teachers?
2. What are the relationships between PCK elements revealed in classes and the actual quality of mathematics classes?

To deal with research question 1, the instrument, FMCO, for classroom observation and the student survey were made and, along with collecting class related materials, class recordings, student feedback, interviews were conducted on 2 pre-service teachers and 4 in-service teachers, chosen as the study subjects. Mathematical classes were analyzed in various ways by making a comparison of the outcome of the quality of mathematics class measurements, subject interviews, and the student surveys.
To deal with research question 2, comprised of 3 expert panels, middle school and high school teachers, along with researchers group respectively, PCK elements required for mathematical teachers were chosen by conducting the Delphi method. By making use of higher and lower quality segment classes, based upon the dimensions of FMCO, the degree of PCK elements manifestation was analyzed according to the quality of the classes. Taking 2 out of 6 subjects whose qualities of teaching are on two different extreme, the same analysis was conducted. According to the analysis conducted above, the relationship between the quality of mathematics classes and PCK elements manifested on mathematics classes was thoroughly examined.

The following is the conclusion of the study;
First: In terms of the richness of mathematics and student participation, the quality of mathematics classes has a low relationship with teaching experiences. That means abundant teaching experience does not automatically guarantee the richness of mathematics classes. Likewise, it does not guarantee the higher student participation in meaning-making and reasoning. Thus, to enhance teaching expertise and quality of mathematics classes, it is necessary to offer specific feedback on the quality of mathematics classes grounded upon class observation not only to pre-service teachers but also to in-service teachers.
Second: As to working with students and mathematics, the more experienced teachers tend to conduct higher quality classes. Also they conducted higher quality classes about the errors and imprecision. It is because those with abundant experiences could detect the errors and difficulties faced by students more easily, and know how to remedy them better. Those teachers precisely implement the language and notation about school mathematics and explain mathematical content with clarity. Therefore, in order for pre-service and novice teachers to enhance their teaching expertise, they need to recognize the errors and difficulties of the students by observing them in class. Also, education that can develop pre-service and novice teachers to explain the content of school mathematics with clarity should be presented.
Third: The student feedback has a lot to do with working with students and mathematics. When evaluating the qualities of educators'' teaching, it is essential to implement both the student feedback and class observations. Teachers are required to reflect on their classes based upon student feedback.
Forth: The knowledge of mathematical concepts, definitions, and theorems often has been manifested in all the classes regardless of the quality of classes, however with respect to the manifestation of knowledge regarding mathematical explanations with precision, the quality of classes is the main factor. Consequently, when explaining the knowledge of the three mentioned above, teachers ought to do so with precision to enhance the quality of classes.
Fifth: The knowledge to present the assignments in accordance with specific content also has been manifested in all the classes regardless of the quality of classes, however in comparison with the lower quality classes, those of the higher quality often present the assignments giving out knowledge in accordance with the cognitive levels of students. As a result, teachers should consider the cognitive levels of students when presenting the assignments in line with specific content.
Sixth: Regardless of the quality of mathematics classes, the knowledge of connecting mathematical ideas and procedures has not been manifested that often in all classes. One of the goals in mathematics education in Korea is to develop the capacity to understand the connections between the concepts and the principles. Also NCTM emphasizes the connections mentioned above. Thus, though the knowledge has not been manifested in classes that often, it goes without saying that teachers are required not only to understand the knowledge but also to explain to students how the mathematical ideas and procedures are connected and work together.
Seventh: The knowledge in multiple solution methods also has not been manifested that often in classes irrespective of the quality of mathematics classes. Nevertheless, students should be equipped with the abilities to choose various strategies appropriately and to make use of them. Accordingly, teachers need to promote the environment for students to utilize the strategies mentioned above.
Eighth: The knowledge of precise explanation in mathematics and reasoning, interactions with students through the effective questionings and communications, and proper teaching methods taking the characteristics of students into account were manifested more often in higher quality classes than those of lower quality. Thus, teachers ought to have the knowledge of the three elaborated upon above and be able to implement them in classes. Teachers need to apply proper teaching methods, taking the characteristics of students into account, to explain and reason with precision, and to actively interact with students.