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논문 기본 정보
- 자료유형
- 학위논문
- 저자정보
- 지도교수
- 신재홍
- 발행연도
- 2017
- 저작권
- 한국교원대학교 논문은 저작권에 의해 보호받습니다.
이용수42
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미분은 연속적인 변화에서 순간의 변화를 이해할 수 있는 유용한 도구임에도 불구하고 미분 학습에서 대수적인 기계적 학습에 치우쳐 있다는 지적이 제기되고 있다. 동일한 맥락에서 ‘변화율관점에서 미분 학습의 필요성’이 제기되고 있다. 변화율 관점에서의 미분 학습을 위해서는 학생들이 연속적인 변화에 대하여 어떻게 인식하고 표현하는지에 대한 연구가 선행될 필요가 있으나 학생들을 대상으로 연속적인 변화에 대한 인식과 표현을 조사한 연구는 드문 편이었다. 이에 따라 본 연구에서는 학생들의 물체의 운동에서 시간, 속력, 거리의 관계에 대하여 속력과 평균속력 각각에 대한 인식과 표현을 살펴보고 학생들이 표현한 ‘평균속력’이라는 용어에 담긴 의미에 기반하여 평균속력함수(거리함수의 변화를 표현하는 새로운 함수)를 구성하는 과정에 대하여 살펴볼 것이다. 이를 위하여 미분 학습 경험이 없는 고등학교 1학년 학생 세 명을 대상으로 20차시의 교수실험을 진행하였으며, 그 결과 물체의 운동을 소재로 한 다양한 함수적 상황에서 연속적인 세 변수(시간, 속력, 거리)의 관계에 대한 학생들의 인식과 표현을 조사할 수 있었다.
교수실험 자료 분석 결과 학생들은 시간, 속력, 거리의 연속적인 세 변수들 중에서 두 개의 변수를 이용하여 물체의 운동을 해석하였는데, 예를 들어 거리함수는 시간과 거리의 공변 관계로 해석한 것으로 볼 수 있고 속력함수는 시간과 속력의 공변 관계로 이해한 것으로 볼 수 있다.
본 연구에서는 연속적으로 움직이는 물체의 운동에 대한 학생들의 시간, 속력, 거리의 관계에 대한 인식이 ‘거리=시간×속력’ 혹은 ‘속력=거리/시간’을 한꺼번에 표현할 수 있는 ‘거, 속, 시’라는 용어로 표현되는 것으로 관찰되었다.
이때 학생들이 사용하는 ‘거, 속, 시’ 공식에서 나타나는 속력 개념에 대한 인식을 조사한 결과 학생들은 평균속력이나 순간속력 개념의 구분 없이 하나의 값으로 인식하여 대수적으로 값을 구하는 정도로 인식하는 것을 확인할 수 있었다. 본 연구는 교수실험을 통하여 이러한 학생들의 초기 속력 개념이 거리함수와 속력함수의 관계 속에서 어떠한 방식으로 구분되어가는 지에 대한 사례를 제시한 연구이다.
또한 본 연구에서는 학생들이 속력 개념을 구분하면서 구성한 ‘속력들의 평균’이라는 개념을 ‘평균속력’이라고 하였을 때, 시간에 따른 평균속력의 변화를 새로운 함수관계로 구성하는 학생들의 방식을 기술하였다. 학생들이 시간에 따른 평균속력의 변화를 새로운 함수관계로 표현한 것을 ‘평균속력함수’라 할 때, 학생들의 연속적인 변화를 인식하는 추론 방식(매끄러운 추론과 덩어리 추론)의 차이에 따른 평균속력함수의 구성상의 특징도 함께 기술하였다.
특히 학생들이 자신들이 구성한 평균속력함수로 물체의 운동을 해석하는 장면을 분석하였으며, 이러한 평균속력함수를 이용한 물체의 운동에 대한 해석을 통하여 거리함수와 속력함수의 관계에 대한 학생들만의 이해방식과 표현들을 세밀하게 관찰하여 제시하였다. 미분 학습에서 거리함수와 속력함수의 관계에 대한 이해는 중요한 의미를 갖는다. 따라서 평균속력함수 개념을 이용하여 거리함수와 속력함수의 관계에 대한 학생들의 이해방식을 제시하는 것은, 비록 특정한 소수의 학생들에게서 나온 사례이기는 하지만 추후 미분 학습에서 학생들의 이해 방식을 조사하는 연구에 기초자료가 될 수 있을 것으로 기대된다.
교수실험 자료 분석 결과 학생들은 시간, 속력, 거리의 연속적인 세 변수들 중에서 두 개의 변수를 이용하여 물체의 운동을 해석하였는데, 예를 들어 거리함수는 시간과 거리의 공변 관계로 해석한 것으로 볼 수 있고 속력함수는 시간과 속력의 공변 관계로 이해한 것으로 볼 수 있다.
본 연구에서는 연속적으로 움직이는 물체의 운동에 대한 학생들의 시간, 속력, 거리의 관계에 대한 인식이 ‘거리=시간×속력’ 혹은 ‘속력=거리/시간’을 한꺼번에 표현할 수 있는 ‘거, 속, 시’라는 용어로 표현되는 것으로 관찰되었다.
이때 학생들이 사용하는 ‘거, 속, 시’ 공식에서 나타나는 속력 개념에 대한 인식을 조사한 결과 학생들은 평균속력이나 순간속력 개념의 구분 없이 하나의 값으로 인식하여 대수적으로 값을 구하는 정도로 인식하는 것을 확인할 수 있었다. 본 연구는 교수실험을 통하여 이러한 학생들의 초기 속력 개념이 거리함수와 속력함수의 관계 속에서 어떠한 방식으로 구분되어가는 지에 대한 사례를 제시한 연구이다.
또한 본 연구에서는 학생들이 속력 개념을 구분하면서 구성한 ‘속력들의 평균’이라는 개념을 ‘평균속력’이라고 하였을 때, 시간에 따른 평균속력의 변화를 새로운 함수관계로 구성하는 학생들의 방식을 기술하였다. 학생들이 시간에 따른 평균속력의 변화를 새로운 함수관계로 표현한 것을 ‘평균속력함수’라 할 때, 학생들의 연속적인 변화를 인식하는 추론 방식(매끄러운 추론과 덩어리 추론)의 차이에 따른 평균속력함수의 구성상의 특징도 함께 기술하였다.
특히 학생들이 자신들이 구성한 평균속력함수로 물체의 운동을 해석하는 장면을 분석하였으며, 이러한 평균속력함수를 이용한 물체의 운동에 대한 해석을 통하여 거리함수와 속력함수의 관계에 대한 학생들만의 이해방식과 표현들을 세밀하게 관찰하여 제시하였다. 미분 학습에서 거리함수와 속력함수의 관계에 대한 이해는 중요한 의미를 갖는다. 따라서 평균속력함수 개념을 이용하여 거리함수와 속력함수의 관계에 대한 학생들의 이해방식을 제시하는 것은, 비록 특정한 소수의 학생들에게서 나온 사례이기는 하지만 추후 미분 학습에서 학생들의 이해 방식을 조사하는 연구에 기초자료가 될 수 있을 것으로 기대된다.
목차
Ⅰ. 서 론 1A. 연구의 필요성 및 목적 1B. 연구문제 진술의 근거 9C. 연구문제 10Ⅱ. 이론적 배경 12A. 수학 학습과 수학 학습 모델 12B. 연속적인 두 변량 사이의 변화에 대한 추론 15C. 변화율 25D. 시간, 속력, 거리의 관계에 대한 연구 32Ⅲ. 연구 방법 및 절차 39A. 교수실험 39B. 연구 절차 41C. 자료수집 및 분석 방법 44D. 연구 참여자 45E. 수업과제 47Ⅳ. 결과 분석 52A. 시간, 속력, 거리의 관계 속에서 속력에 대한 학생들의 인식과 표현 53B. 시간, 속력, 거리의 관계 속에서 평균속력에 대한 학생들의 인식과 표현 62C. 학생들의 평균속력 개념에 기반한 평균속력함수 구성 과정 72D. 정리 113Ⅴ. 결론, 논의 및 제언 121A. 결론 121B. 논의 135C. 제언 140참 고 문 헌 143ABSTRACT 149
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