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Using the notion of complete nonabelian exterior square $G \widehat{\wedge} G$ of a pro-$p$-group $G$ ($p$ prime), we develop the theory of the exterior degree $\widehat{\mathrm{d}}(G)$ in the infinite case, focusing on its relations with the probability of commuting pairs $\mathrm{d}(G)$. Among the main results of this paper, we describe upper and lower bounds for $\widehat{\mathrm{d}}(G)$ with respect to $\mathrm{d}(G)$. Here the size of the second homology group $H_2(G,\mathbb{Z}_p)$ (over the $p$-adic integers $\mathbb{Z}_p$) plays a fundamental role. A further result of homological nature is placed at the end, in order to emphasize the influence of $H_2(G,\mathbb{Z}_p)$ both on $G$ and $\widehat{\mathrm{d}}(G)$.
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A. M. A. Alghamdi / 2012 / A generalization of the probability that the com-mutator of two group elements is equal to a given element / Bull. Iranian Math. Soc 38(4):973~986
A. M. A. Alghamdi / 2014 / Remarks on the relative tensor degree of finite groups / Filomat 28(9):1929~1933
F. R. Beyl / 1979 / On groups occurring as center factor groups / J. Algebra 61(1):161~177
R. Brown / 1987 / Some computations of nonabelian tensor products of groups / J. Algebra 111(1):177~202
B. Eick / 2008 / Schur multiplicators of infinite pro-p-groups with finite coclass / Israel J. Math 166:147~156
A. M. A. Alghamdi / 2014 / Remarks on the relative tensor degree of finite groups / Filomat 28(9):1929~1933
F. R. Beyl / 1979 / On groups occurring as center factor groups / J. Algebra 61(1):161~177
R. Brown / 1987 / Some computations of nonabelian tensor products of groups / J. Algebra 111(1):177~202
B. Eick / 2008 / Schur multiplicators of infinite pro-p-groups with finite coclass / Israel J. Math 166:147~156
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