이 논문에서는 초등학생이 수 개념을 학습할 때 도해로서 활용성이 높은 수직선의 의미를 분석하고 그 바람직한 활용에 대한 가능성을 탐구하고자 한다. 이를 위해 문헌 연구를 통하여 수 세기의 발달 및 수 개념의 여러 측면과 관련한 수직선의 사용, 그리고 수직선, 빈 수직선, 이중 수직선의 의미와 활용 방법을 알아보았다. 이를 바탕으로 초등학교 수학 교과서에 나타난 수직선과 초등학생의 수직선에 대한 이해 실태를 조사하였고, 초등학생의 수 개념 학습에서 수직선, 빈 수직선, 이중 수직선의 효과적인 도입과 활용의 사례를 탐색하였다. 도출한 결론은 다음과 같다.
첫째, 초등학교 수학 교과서에 나타난 수직선에서는 그 도입 시기와 도입 내용 및 활용 방법의 문제점을 확인하였다. 자연수, 유리수의 여러 개념이 도입 시기와 수직선의 활용 시기 사이에 불일치가 확인되었고, 자연수의 덧셈과 뺄셈, 자연수의 나눗셈, 분수 개념의 이해, 몫의 의미와 관련한 분수 학습, 분수의 사칙연산, 소수의 곱셈과 소수의 나눗셈의 학습과 관련된 문제점이 확인되었다. 수직선이 사용될 때에는 다양한 반구체물(자, 막대, 사각형, 띠, 원 등)은 함께 활용되고 있으나, 다양한 형태의 수직선(빈 수직선이나 이중 수직선 등)은 활용되지 못하고 단일 수직선만이 활용되고 있었다. 자연수와 유리수 같은 수 개념 학습에서 수직선의 적절한 도입이나 활용에 대한 구체적인 안내나 교육 방법, 효과적인 활용 방법이 제시되지 않는 것도 단원이나 영역, 난이도에 따라 수직선을 적절하게 활용하지 못하는 원인으로 파악되었다.
둘째, 수직선과 관련된 수 감각의 변화를 조사한 결과, 수직선의 은유적 개념의 이해가 깊어지는 4학년 이후부터 수 예상하기의 정확성이 늘어남을 알 수 있었다. 수직선의 좌표 개념에 대한 이해와 측정 도구로서의 수직선에 대한 이해가 부족한 학생들과 수직선에서 길이 표현을 어려워하는 학생들이 많이 관찰되었다.
수 개념 학습 초기에 교수-학습 도구로서 수직선의 사용이 정교하게 이루어지지 못할 경우 수 체계 은유로서의 수직선의 장점을 약화시킬 수도 있고, 학생들이 후속 학습에서 수 체계와 관련된 지식을 재구성하기 힘들다. 수직선의 의미에 대한 이해가 충분히 이루어지지 않고 수직선의 특성을 제대로 학습하지 않으면 학생들은 수직선, 특히 선과 점 사이의 관계가 의미하는 은유에 대한 개념적인 이해가 쉽게 발달하지 않는다. 또한 은유를 이용하여 설명하면 쉽게 이해하기도 하지만, 조절이 불충분하거나 중요한 점을 놓치게 되면 은유가 수학적 사고의 발달에서 인식론적 장애의 근원이 될 수도 있음을 확인할 수 있다.
셋째, 2학년 학생들은 부분과 전체 연산이 가능하고 1+1은 2, 2+1은 3, 3+1은 4, 4+1은 5가 되는 내포된 합을 계속 구성할 수 있는 암묵적 내포 수 계열에 도달하지만 1학년은 이것이 완전하지가 않다. 수직선의 도입은 1학년이 아니라 암묵적 내포 수 계열에 있는 2학년에서 실시하는 것이 수 개념의 시각적 표상 형성에 도움이 된다.
빈 수직선은 수나 표시 없이 표현된 수직선으로 덧셈과 뺄셈과 같은 과정들을 수행하는데 사용되는 다양한 사고 전략을 시각적으로 그려내는 기능에 중점을 둔 수 모델이다. 덧셈과 뺄셈과 같은 과정들을 수행할 때, 빈 수직선을 활용하여 다양한 사고 전략을 시각적으로 그려내는 것은 3학년 학생들에게 적절한 활동으로 파악되었다. 또한 이중 수직선은 곱셈적 비교 상황이나 똑같은 묶음을 나타내는 데 적절하고 분배법칙을 지도하는 데도 사용할 수 있는 수학적 모델로, 3학년 학생들의 경우 이중 수직선을 활용하여 나눗셈이 이루어지는 상황인 등분제와 포함제를 시각적으로 이해하는 것도 가능하였다.
6학년 학생들은 이중 수직선을 통해 비율이 사용되는 경우의 문제를 해결할 때 비례 맥락에 내재된 공변 관계를 시각적으로 쉽게 이해하였고, 한 측정 공간 내의 관계와 두 측정 공간 간의 관계를 모두 나타내어 비례 문제로 확장하는 것도 가능하였다.
이상의 결과를 바탕으로 다음을 제안할 수 있다.
첫째, 수직선의 도입 시기를 1학년이 아니라 암묵적 내포 수 계열에 도달한 2학년부터 실시하여 수직선의 은유적 개념에 대한 충분한 이해를 가능하게 하고 이를 통해 이어지는 수 개념 학습에 도움이 될 수 있도록 조정할 필요가 있다. 1학년에서는 수직선보다는 수 트랙이나 그림, 수모형 등 더 구체적이고 은유적 개념 이해의 정도가 덜한 시각적 모델이나 교구를 사용하는 것이 바람직하다.
둘째, 빈 수직선은 3학년의 자연수의 덧셈과 뺄셈 단원에서 도입하고 소수의 덧셈과 뺄셈 단원에서 활용하는 것이 가능하며, 이중 수직선은 3학년의 자연수의 곱셈과 나눗셈 단원에서 도입하고 분수의 곱셈과 나눗셈, 비와 비율, 비례식과 비례배분 단원에서 활용하는 것이 가능하다.
셋째, 수직선이나 빈 수직선, 이중 수직선을 도입하거나 활용하는 시기에 수직선의 은유적 개념 이해를 충분히 할 수 있도록 수직선의 구체적인 안내와 활용 방법에 대한 후속 연구가 필요하다.

The purpose of this study was to analyze meaning of the number line as an diagram which is highly helpful for elementary school students when learning number concept and to investigate the possibility of the right usage of the number line. To achieve of this purpose, we investigated three main parts by literature reveiw ; the development of number counting ; utilization of the number line involved in the various aspects of the number concepts; the concept and the , empty number line, and double number line Based on this study, we analyzed the number line presented in the elementary school textbook and we also conducted the survey on students’ understanding and using the number line. we investigated the efficient utilization time of the number line, empty number line, and double number line on the elementary school students’ number concept learning. We reached the conclusions as follow.
First, we identified the many problems about the number line presented in the elementary school textbook; problems about the time of introduction, contents about introduction and the way of using the number line. We found out the discrepancy between the time of introducing the various number concepts involving the natural number and the rational number, and the time of using the number line. We found out problems that students went through when learning certain ideas ; learning the addition and the subtraction of natural number. division of natural number, understanding the concept of fraction, learning fraction when it comes to the concept of quotient, addition and subtraction of fraction, and multiplication and division of fraction. Students were using various representational materials(rectangular shape, bar, strip, ruler, and circle etc) with the number line, but the problem was that they were using only the single number line not the various number line(empty number line or double number line). When learning the number concept such as the natural number or rational number, the concrete guideline, teaching method, or efficient utilization was not suggested properly and this was the reason that the number line was not efficiently used according to the unit, realm, and the level of difficulty.
Second, by the result we investigated the changes about the number sense involving the number line, we found out that among the students who complete fourth grade course, understanding the metaphorical concept of the number line more deeply, the accuracy of number guessing increased. There were many students who had trouble understanding the concept of the number line as coordinate and the number line as the means of measurement. Also, there were students who had difficulties in expressing the length on the number line.
If the utilization of the number line as a tool for teaching-learning material on the beginning of the number concept learning is not conducted precisely, there is the possibility of weakening the advantage of the number line as the metaphor of the number system. Also it might be difficult for the students to reorganize the knowledge related to the number system on the following learning procedure. If there is no enough understanding of the concept of the number line and there is no process that clarify the characteristics about the number line, students can not develop the conceptual understanding especially the understanding the metaphor which explains about the relation between point and line. Also the explanation using the metaphor could help the understanding, but we could identify that if the control is insufficient or the critical point is missed, the metaphor could be the source of cognitive disorder in terms of the development of mathematical thinking.
Third, second graders could do the part and whole operation, and they met the stage of tacitly-nested number sequence(TNS) in which they could compose nested sum continuously such as 1+1 = 2, 2+1=3, 3+1=4, 4+1=5. However, the first graders could not do this operation as perfectly as the second graders. The introduction of the number line should be conducted not in the first grade but in the second grade course to be helpful for the students to structure the visual representative of the number concept.
The empty number line is the number line with no numbers or marks, a number model which is a visual representation for recording various thinking strategies during the process of addition or subtraction. When conducting the process such as addition and subtraction, visually recording a variety of thinking strategies by using the empty number line was analyzed to be appropriate activity for the third graders.
Also, the double number line model is appropriate for expressing the same quantity of unit or multiplicational comparison situation and it is also good mathematical model for teaching distributive law. In the case of third graders, they could visually understand the partitive and quotitive division operations by using the double number line.
If the sixth graders used the double number line, they easily understood the covariation relationship implied in the proportion context when they solved a problem about rate by using double number line. Also, to enlarge the usage to the proportion problem by representing both the relation within a measurement space and the relation between two measurement spaces was possible.
The outcomes based on this study are as followed.
First, it is necessary to adjust the introduction time of the number line not in the first grade, but in the second grade when the second graders are at the stage of TNS, so the introduction of the number line in this stage can make them fully understand the metaphorical concept on the number line, and by this understanding they could be helped to learn the continued number concept. In first grade years, students are recommended to use visual models or manipulatives which are more concrete and less metaphorical than the number line such as the number track, picture, or number model ect.
Second, The empty number line can be introduced in the chapter of the addition and subtraction on the natural number and can be utilized in the chapter of the addition and subtraction on the decimal fraction. And the double number line can be introduced in the chapter of the multiplication and division on the natural number and can be utilized in the chapter of the multiplication and division on fraction, the rate and proportion, and a proportional expression and proportional distribution.
Finally, the follow-up study about the concrete guideline and the utilization of the number line is necessary to fully understand the metaphorical concept of the number line when the number line, empty number line, and the double number line is introduced and used.