본 연구는 학생의 단위 조정 능력과 학교 수학과의 관계를 이해하기 위한 목적으로, 중학교 2학년 학생들이 일차함수와 한 차원 높은 이차함수에서의 변화 상황을 이해하는데 비례 지식이 어떻게 사용되는지, 그리고 단위 조정 단계에 따라 가용 가능한 지식은 무엇인지를 세밀하게 분석하고자 한다. 특히, 학생들이 일차함수에서 이차함수로, 식의 차수가 1차에서 2차로 높아짐에 따라 변화되는 차원에 대한 이해를 위해 어떠한 양적 조작과 곱셈적 개념이 필요한지에 초점을 두고 있다. Tillema(2013)는 선형적인 의미의 곱셈적 개념이 비선형적 의미의 곱셈적 개념을 구성하고 이해하는 데 지원할 수 있는 잠재력을 가지고 있다고 주장한 바 있다. 이에 따라 Tillema의 주장을 근거로 ‘선형적’과 ‘비선형적’이라는 의미를 일차함수와 이차함수로 전환하여 학생이 함수 영역에서 일차식에서 이차식으로의 변화 과정을 이해하는데 초점을 제공해 줄 것으로 보았다.
이 연구는 선형적인 일차함수가 익숙한 중학생들이 한 차원 높은 이차함수 문제를 어떻게 표현하는지를 통해 학생의 함수 개념에서의 양적 조작 방식을 분석하고, 일차함수와의 유사성과 차이점을 식별함으로써 일차함수와 이차함수를 상황·언어적으로, 또 그래프와 식으로 구분할 수 있는 학생과 그렇지 못한 학생 간의 차이를 설명해 줄 수 있는 이해가 무엇인지를 보고자 한다. 이때 단위 조정 관점은 중학생들이 비례 문제와 비례 관계가 포함된 일차함수, 이차함수 문제를 해결하는 과정을 설명할 수 있는 중요한 렌즈로 작용할 것이다.
이를 위해 본 연구는 이차함수를 배우지 않은 중학교 2학년 학생 20명을 대상으로 학생들의 단위 조정 능력을 평가하기 위해 고안된 Norton 외(2015)의 서면 평가 과제를 이용하여 30∼40분간 서면 평가를 실시하였다. 20명의 학생에게 받은 평가지로 Norton 외(2015)의 단위 조정에 대한 평가 루브릭에 의해 자연수 맥락에서 3수준 단위를 주어진 것으로 생각할 수 있고, 3수준 단위 구조 간에 유연한 전환이 가능한 ‘단위 조정 3단계’ 학생들을 식별하였다. 그리고 일대일의 사전 면담을 통해 분수 곱셈 맥락에서 단위 조정 2단계와 단위 조정 3단계 학생들을 분류하여, 최종 7명(단위 조정 2단계 학생 5명, 단위 조정 3단계 학생 2명)의 학생을 면담 대상자로 선발하였다. 이후 선발된 학생들을 대상으로 2022년 6월부터 8월까지 학생 한 명당 4차시씩, 총 28차시의 임상 면담을 실시하였다. 그리고 7명의 면담 학생 중 단위 조정 단계에 따른 특징이 뚜렷하고, 일관된 모습을 보여주었던 4명의 학생에 주목하였다. 단위 조정 2단계와 단위 조정 3단계로 분류된 4명의 학생이 비례 문제를 해결하는 과정에서 보여주었던 양적 조작 방식이 일차함수와 이차함수를 그림, 말(언어), 그래프, 식 등으로 표현하는 과정에서 어떠한 관련성을 가지며, 학생들에게 나타나는 수준의 차이를 해석할 수 있는지 세밀하게 관찰·분석하였다. 본 연구에서 얻게 된 결과는 다음과 같다.
첫째, 단위 조정 2단계의 학생과 단위 조정 3단계 학생 간의 비례 문제 해결 과정에서 비를 구성하는 두 측정공간 그 자체에 대한 인식의 여부, 두 측정공간 내와 사이의 관계를 바라보는 관점, 그리고 동등한 비를 구성하기 위해 학생들이 보여주는 양적 조작 방식 사이의 관련성으로부터 단위 조정 단계에 따른 학생들 사이의 특징을 살펴보았다. 이를 통해 학생의 단위 조정 능력이 그들이 가용 가능한 비례 지식의 차이를 이해하는데 설명적 도구가 될 수 있음을 확인하였다.
둘째, 일차함수 문제 해결 과정에서는 학생들이 나타낸 상황·언어적 표현과 그래프 및 식의 표현에서 단위 조정 단계에 따라 식별되는 차이를 확인하였다. 그리고 이에 대한 학생의 설명은 ‘미지의 값 비례 문제’에서 보여주었던 단위 조정 단계에 따른 학생들 사이의 양적 조작 방식과 관련이 있었다.
셋째, 일차함수와 같이, 이차함수 문제 해결 과정에서도 학생이 나타낸 그림과 말을 통한 상황·언어적 표현은 단위 조정 단계에 따라 그 차이를 확인할 수 있었다. 그러나 그래프와 식을 표현하는 과정에서는 학생들이 같은 단위 조정 단계에서 서로 다른 그래프 모양을 나타내거나, 단위 조정 단계가 다름에도 불구 구하고 유사한 그래프 모양을 보여주었다. 특히, 이차함수 그래프 표현 이후로 이어진 비선형 함수의 그래프 표현과 관련된 면담에서도 학생들이 이차함수의 그래프에서 보여준 반응의 차이를 확인할 수 있었다. 그리고 이러한 차이는 단위 조정 단계에 따라 학생들이 비례 문제 해결 과정에서 보여준 양적 조작 방식으로 이차함수 그래프나 식에서 보여주었던 결과적 차이를 해석할 수 있었으며, 더 나아가 이차함수에서의 ‘제곱 관계’에 대한 학생의 수학적 이해는 그들의 단위 조정 단계에서 가용한 비례 지식으로 설명될 수 있음을 확인하였다.
이러한 연구 결과를 바탕으로 본 연구는 초등학교 산술 지식으로부터 중학교 함수 영역에서 학생이 나타내는 그림과 말, 그래프, 식의 표현 과정에 대한 관련성을 비례 추론과 공변 추론의 관점에서 논의하였으며, 구체적으로 학생의 함수 학습 과정에 대한 측면과 교사의 교실 수업 측면으로의 두 가지 시사점을 제시하였다.